Matematika Diskrit : Kombinasi dengan Pengulangan

Kombinasi dengan Pengulangan

Misalkan terdapat r buah bola yang semua berwarna sama dan tersedia n buah kotak.
Tinjau dua kasus berikut:

  1. Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola: C(n,r).
  2. Jika masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola), maka jumlah cara memasukkan bola adalah C(n + r โ€“ 1, r). Perhatikan bahwa
\[ C(n+r-1,r) \space = \space C(n+r-1,n-1) \]

Contoh 1

20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagin kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel dan jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan?

Penyelesaian:

n = 5

r1 = 20 (apel) dan r2 = 15 (jeruk)

Membagi 20 apel kepada 5 anak: C(5 + 20 โ€“ 1, 20) cara

Membagi 15 jeruk kepada 5 anak: C(5 + 15 โ€“ 1, 15) cara

Jumlah cara pembagian kedua buah itu adalah

C(5 + 20 โ€“ 1, 20) ร— C(5 + 15 โ€“ 1, 15) = C(24, 20) ร— C(19, 15)


Contoh 2

Berapa banyak solusi bilangan bulat x1 + x2 + x3 + x4 = 12 jika x1 โ‰ฅ 2 dan xi lainnya โ‰ฅ 0.

Penyelesaian:

Analogi: 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak. Namun karena x1 โ‰ฅ 2, maka masukkan 2 bola terlebih dahulu ke dalam kotak x1 agar x1 dijamin terisi minimal 2 buah bola.

Bola yang tersisa adalah 12 โ€“ 2 = 10. Sepuluh bola ini dibagi lagi ke dalam 4 kotak (termasuk kotak x1).

Sekarang n = 4 dan r = 10, sehingga jumlah seluruh solusinya adalah sebanyak

C(4 + 10 โ€“ 1, 10) = C(13, 10) = 13!/(10! 3!) = 286 buah solusi


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Kombinatorial, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up