Matematika Diskrit : Bentuk Kanonik dan Bentuk Baku

Bentuk Kanonik

Ada dua macam bentuk kanonik

  1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
  2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh:

1. f(x, y, z) = xโ€™yโ€™z + xyโ€™zโ€™ + xyz โ†’ SOP

Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + yโ€™ + z)(x + yโ€™ + zโ€™)

(xโ€™ + y + zโ€™)(xโ€™ + yโ€™ + z) โ†’ POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

x y Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 x’y’ m0 x + y M0
0 1 x’y m1 x + y’ M1
1 0 xy’ m2 x’ + y M2
1 1 xy m3 x’ + y’ M3
x y z Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 0 x’y’z’ m0 x + y + z M0
0 0 1 x’y’z m1 x + y + z’ M1
0 1 0 x’yz’ m2 x + y’ + z M2
0 1 1 x’yz m3 x + y’ + z’ M3
1 0 0 xy’z’ m4 x’ + y + z M4
1 0 1 xy’z m5 x’ + y + z’ M5
1 1 0 xyz’ m6 x’ + y’ + z M6
1 1 1 xyz m7 x’ + y’ + z’ M7

Contoh 1

Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Penyelesaian

(i) Sum of Product (SOP)

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) = xโ€™yโ€™z + xyโ€™zโ€™ + xyz

atau (dengan menggunakan lambang minterm) : f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = โˆ‘ (1, 4, 7)

(ii) Product of Sum (POS)

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

f(x, y, z) = (x + y + z)(x + yโ€™+ z)(x + yโ€™+ zโ€™) (xโ€™+ y + zโ€™)(xโ€™+ yโ€™+ z)

atau dalam bentuk lain

f(x, y, z)) = M0 M2 M3 M5 M6 = โˆ(0, 2, 3, 5, 6)


Contoh 2

Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + yโ€™z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian

(i) Sum of Product (SOP)
  • x = x(y + yโ€™)

= xy + xyโ€™

= xy (z + zโ€™) + xyโ€™(z + zโ€™)

= xyz + xyzโ€™ + xyโ€™z + xyโ€™zโ€™

  • yโ€™z = yโ€™z (x + xโ€™)

= xyโ€™z + xโ€™yโ€™z

  • Jadi f(x, y, z) = x + yโ€™z

= xyz + xyzโ€™ + xyโ€™z + xyโ€™zโ€™ + xyโ€™z + xโ€™yโ€™z

= xโ€™yโ€™z + xyโ€™zโ€™ + xyโ€™z + xyzโ€™ + xyz

atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = โˆ‘(1,4,5,6,7)

Product of Sum (POS)
  • f(x, y, z) = x + yโ€™z

= (x + yโ€™)(x + z)

  • x + yโ€™ = x + yโ€™ + zzโ€™

= (x + yโ€™ + z)(x + yโ€™ + zโ€™)

  • x + z = x + z + yyโ€™

= (x + y + z)(x + yโ€™ + z)

  • Jadi f(x, y, z) = (x + yโ€™ + z)(x + yโ€™ + zโ€™)(x + y + z)(x + yโ€™ + z)

= (x + y + z)(x + yโ€™ + z)(x + yโ€™ + zโ€™)

atau f(x, y, z) = M0 M2 M3 = โˆ(0, 2, 3)


Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misalkan f(x, y, z) = โˆ‘ (1, 4, 5, 6, 7)

dan f โ€™adalah fungsi komplemen dari f : f โ€™(x, y, z) = โˆ‘ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

fโ€™(x, y, z) = (f โ€™(x, y, z))โ€™ = (m0+ m2 + m3)โ€™

= m0‘ ยท m2‘ ยท m3

= (xโ€™yโ€™zโ€™)โ€™ (xโ€™y zโ€™)โ€™ (xโ€™y z)โ€™

= (x + y + z) (x + yโ€™ + z) (x + yโ€™ + zโ€™)

= M0 M2 M3

= โˆ (0,2,3)

Jadi f(x, y, z) = โˆ‘ (1, 4, 5, 6, 7) = โˆ (0,2,3).

Kesimpulan: mjโ€™ = Mj


Contoh 1

Nyatakan f(x, y, z)= โˆ (0, 2, 4, 5) dalam bentuk SOP dan g(w, x, y, z) = โˆ‘ (1, 2, 5, 6, 10, 15) dalam bentuk POS.

Penyelesaian

f(x, y, z)= โˆ‘ (1, 3, 6, 7)

g(w, x, y, z)= โˆ (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)


Contoh 2

Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = yโ€™ + xy + xโ€™yzโ€™

Penyelesaian

(i) Sum of Product (SOP)

f(x, y, z) = yโ€™ + xy + xโ€™yzโ€™

= yโ€™ (x + xโ€™) (z + zโ€™) + xy (z + zโ€™) + xโ€™yzโ€™

= (xyโ€™ + xโ€™yโ€™) (z + zโ€™) + xyz + xyzโ€™ + xโ€™yzโ€™

= xyโ€™z + xyโ€™zโ€™ + xโ€™yโ€™z + xโ€™yโ€™zโ€™ + xyz + xyzโ€™ + xโ€™yzโ€™

atau f(x, y, z) = m0+ m1 + m2+ m4+ m5+ m6+ m7

(ii) Product of Sum (POS)

f(x, y, z) = M3 = x + yโ€™ + zโ€™


Bentuk Baku

Tidak harus mengandung literal yang lengkap.

Contoh

f(x, y, z) = yโ€™ + xy + xโ€™yz (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(yโ€™ + z)(xโ€™ + y + zโ€™) (bentuk baku POS)


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Aljabar Boolean, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up