Matematika Diskrit : Logika Ekuivalensi

Ekuivalen

Dua proposisi majemuk disebut Ekuivalen (secara logika) jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang identik.

Jika p dan q adalah proposisi majemuk yang ekuivalen, maka dituliskan ๐’‘ โŸบ ๐’’ atau ๐’‘ โ‰ก ๐’’. Jika ๐’‘ โ‰ก ๐’’, maka ๐’’ โ‰ก ๐’‘.

Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menyelidiki apakah dua kalimat ekuivalen.


Contoh 1

Tentukan apakah ~(p โˆง q) dengan ~p โˆง ~q ekuivalen!

Penyelesaian

pqp โˆง q~(p โˆง q)~p~q~p โˆง ~q
TTTFFFF
TFFTFTF
FTFTTFF
FFFTTTT

Nilai kebenaran ~ ๐‘ โˆง ๐‘ž dan โˆผ๐‘ โˆง โˆผ๐‘ž tidak selalu sama. Maka ~๐‘ โˆง ๐‘ž tidak ekuivalen dengan โˆผ ๐‘ โˆงโˆผ q


Contoh 2

Tentukan apakah ๐‘ โ†’ ๐‘ž dengan โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž ekuivalen.

Penyelesaian

pqp โ†’ q~p~p โˆจ q
TTTFT
TFFFF
FTTTT
FFTTT

Karena untuk tiap-tiap baris, nilai kebenaran ๐‘ โ†’ ๐‘ž dan โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž sama, maka disimpulkan bahwa ๐‘ โ†’ ๐‘ž โ‰ก โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž.


Hukum Ekuivalensi Logika

Hukum Identitas

๐‘ โˆง ๐‘‡ โ‰ก ๐‘ ( Identitas dari โˆง adalah T)
๐‘ โˆจ ๐น โ‰ก ๐‘ ( Identitas dari โˆจ adalah F)

Hukum Idempoten

๐‘ โˆจ ๐‘ โ‰ก ๐‘
๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ก ๐‘

Hukum Komutatif

๐‘ โˆง ๐‘ž โ‰ก ๐‘ž โˆง ๐‘
๐‘ โˆจ ๐‘ž โ‰ก ๐‘ž โˆจ ๐‘

Hukum Asosiatif

(๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆง ๐‘Ÿ โ‰ก ๐‘ โˆง (๐‘ž โˆง ๐‘Ÿ)
(๐‘ โˆจ ๐‘ž) โˆจ ๐‘Ÿ โ‰ก ๐‘ โˆจ (๐‘ž โˆจ ๐‘Ÿ)

Negasi T dan F

โˆผ ๐‘‡ โ‰ก ๐น
โˆผ ๐น โ‰ก ๐น

Hukum Negasi Ganda

โˆผ (โˆผ ๐‘) โ‰ก ๐‘

Hukum Ikatan/Dominasi

๐‘ โˆจ ๐‘‡ โ‰ก ๐‘‡ (Dominasi dari โˆจ )
๐‘ โˆง ๐น โ‰ก ๐น (Dominasi dari โˆง)

Hukum De Morgan

โˆผ (๐‘ โˆง ๐‘ž) โ‰ก โˆผ ๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž
โˆผ (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โ‰กโˆผ ๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž

Hukum Distributif

๐‘ โˆง (๐‘ž โˆจ ๐‘Ÿ) โ‰ก (๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆจ (๐‘ โˆง ๐‘Ÿ)
๐‘ โˆจ (๐‘ž โˆง ๐‘Ÿ) โ‰ก (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โˆง (๐‘ โˆจ ๐‘Ÿ)

Hukum Absorbsi

๐‘ โˆจ ๐‘ โˆง ๐‘ž โ‰ก ๐‘
๐‘ โˆง ๐‘ โˆจ ๐‘ž โ‰ก ๐‘

Hukum Negasi

๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ โ‰ก ๐‘‡
๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ โ‰ก ๐น


Hukum Ekuivalensi Logika yang Melibatkan Implikasi

๐‘ โ†’ ๐‘ž โ‰ก โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž

๐‘ โ†’ ๐‘ž โ‰ก โˆผ ๐‘ž โ†’ โˆผp

๐‘ โˆจ ๐‘ž โ‰กโˆผ ๐‘ โ†’ ๐‘ž

๐‘ โˆง ๐‘ž โ‰กโˆผ(๐‘ โ†’โˆผ ๐‘ž)

โˆผ (๐‘ โ†’ ๐‘ž) โ‰ก ๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž

(๐‘ โ†’ ๐‘ž) โˆง (๐‘ โ†’ ๐‘Ÿ) โ‰ก ๐‘ โ†’ (๐‘ž โˆง ๐‘Ÿ)

(๐‘ โ†’ ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘ž โ†’ ๐‘Ÿ) โ‰ก (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โ†’ ๐‘Ÿ

(๐‘ โ†’ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ โ†’ ๐‘Ÿ) โ‰ก ๐‘ โ†’ (๐‘ž โˆจ ๐‘Ÿ)

(๐‘ โ†’ ๐‘Ÿ) โˆจ (๐‘ž โ†’ ๐‘Ÿ) โ‰ก (๐‘ โˆง ๐‘ž) โ†’ ๐‘Ÿ


Hukum Ekuivalensi yang Melibatkan Biimplikasi

๐‘ โ†” ๐‘ž โ‰ก (๐‘ โ†’ ๐‘ž) โˆง (๐‘ž โ†’ ๐‘)
๐‘ โ†” ๐‘ž โ‰ก โˆผ ๐‘ โ†” โˆผ ๐‘ž
๐‘ โ†” ๐‘ž โ‰ก (๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž)
โˆผ (๐‘ โ†” ๐‘ž) โ‰ก ๐‘ โ†” โˆผ๐‘ž


Pembuktian Ekuivalensi dengan Menyederhanakan Proposisi

Hukum-hukum tersebut digunakan untuk menyederhanakan proposisi-proposisi yang kompleks dan untuk membuktikan ekuivalensi.

Dalam membuktikan ekuivalensi ๐’‘ โŸบ ๐’’, ada 3 macam cara yang bisa dilakukan:

  1. ๐’‘ diturunkan terus menerus dengan menggunakan hukumhukum yang ada, sehingga akhirnya didapat ๐’’.
  2. ๐’’ diturunkan terus menerus dengan menggunakan hukumhukum yang ada, sehingga akhirnya didapat ๐’‘.
  3. ๐’‘ dan ๐’’ masing-masing diturunkan secara terpisah sehingga
    akhirnya didapat ๐’“.

Biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.


Contoh 1

Sederhanakan bentuk ~ (~๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆง (๐‘ โˆจ ๐‘ž)

Penyelesaian

~ (~๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆง (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โ‰ก (~(~๐‘) โˆจ ~๐‘ž) โˆง (๐‘ โˆจ ๐‘ž)

โ‰ก (๐‘ โˆจ ~๐‘ž) โˆง (๐‘ โˆจ ๐‘ž)

โ‰ก ๐‘ โˆจ (~๐‘ž โˆง ๐‘ž)

โ‰ก ๐‘ โˆจ ๐น

โ‰ก ๐‘


Contoh 2

Tunjukkan bahwa ๐‘ โˆจโˆผ (๐‘ โˆจ ๐‘ž) dan ๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž keduanya ekuivalen secara logika.

Penyelesaian

๐‘ โˆจโˆผ (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โŸบ ๐‘ โˆจ (~๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž)

โŸบ (๐‘ โˆจ ~๐‘) โˆง (๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž)

โŸบ ๐‘‡ โˆง (๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž)

โŸบ (๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž)


Contoh 3

Tunjukkan bahwaโˆผ (๐‘ โˆจ (~๐‘ โˆง ๐‘ž))dan ~๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž keduanya ekuivalen secara logika.

Penyelesaian

โˆผ(๐‘ โˆจ (~๐‘ โˆง ๐‘ž)) โ‰กโˆผ ๐‘ โˆงโˆผ (~๐‘ โˆง ๐‘ž)

โ‰กโˆผ ๐‘ โˆง (๐‘ โˆจ ~๐‘ž)

โ‰ก (โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘) โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆง ~๐‘ž)

โ‰ก ๐น โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆง ~๐‘ž)

โ‰ก (โˆผ ๐‘ โˆง ~๐‘ž) โˆจ ๐น

โ‰ก (โˆผ ๐‘ โˆง ~๐‘ž)


Contoh 4

Tunjukkan bahwa (๐‘ โˆง ๐‘ž) โ†’ (๐‘ โˆจ ๐‘ž) adalah tautologi.

Penyelesaian

(๐‘ โˆง ๐‘ž) โ†’ (๐‘ โˆจ ๐‘ž) โ‰กโˆผ (๐‘ โˆง ๐‘ž) โˆจ (๐‘ โˆจ ๐‘ž)

โ‰ก (โˆผ ๐‘ โˆจโˆผ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ โˆจ ๐‘ž)

โ‰ก (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘) โˆจ (โˆผ ๐‘ž โˆจ ๐‘ž)

โ‰ก ๐‘‡ โˆจ ๐‘‡

โ‰ก ๐‘‡


Contoh 5

Tunjukkan bahwa (๐‘ โ†’ ๐‘ž) โ†” (โˆผ ๐‘ž โ†’โˆผ ๐‘) adalah tautologi.

Penyelesaian

(๐‘ โ†’ ๐‘ž) โ†” (โˆผ ๐‘ž โ†’โˆผ ๐‘)

โ‰ก ((๐‘ โ†’ ๐‘ž) โ†’ (โˆผ ๐‘ž โ†’โˆผ ๐‘)) โˆง ((โˆผ ๐‘ž โ†’โˆผ ๐‘) โ†’ (๐‘ โ†’ ๐‘ž))

โ‰ก ((โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž) โ†’ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘)) โˆง ((๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘) โ†’ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž))

โ‰ก (โˆผ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘)) โˆง (โˆผ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘) โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž) )

โ‰ก ((๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘)) โˆง ((โˆผ ๐‘ž โˆง ๐‘) โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž))

โ‰ก ((๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘))

โ‰ก ((๐‘ โˆงโˆผ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘))

โ‰ก (โˆผ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž) โˆจ (๐‘ž โˆจโˆผ ๐‘))

โ‰ก (โˆผ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž) โˆจ (โˆผ ๐‘ โˆจ ๐‘ž))

โ‰กโˆผ ๐‘Ÿ โˆจ ๐‘Ÿ

โ‰ก ๐‘‡


Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Misal diketahui implikasi (๐‘ โ†’ ๐‘ž)

Konversnya adalah (๐‘ž โ†’ ๐‘)

Inversnya adalah (~๐‘ โ†’ ~๐‘ž)

Kontraposisinya adalah (~๐‘ž โ†’ ~๐‘)

Suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya. Artinya, pada tabel kebenaran, nilai kebenaran ๐‘ โ†’ ๐‘ž selalu sama dengan nilai kebenaran ~๐‘ž โ†’ ~๐‘. Akan tetapi tidak demikian dengan invers dan konvers.


Contoh 1

Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang.

Konvers: Jika A merupakan 4 persegi panjang, maka A merupakan suatu bujursangkar.

Invers: Jika A bukan bujursangkar, maka A bukan 4 persegi panjang.

Kontraposisi: Jika A bukan 4 persegi panjang, maka A bukan bujursangkar.


Contoh 2

Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil.

Konvers: Jika n adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan prima > 2.

Invers: Jika n bukan bilangan prima > 2, maka n bukan bilangan ganjil.

Kontraposisi: Jika n bukan bilangan ganjil, maka n bukan bilangan prima > 2


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Logika, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

https://www.youtube.com/watch?v=i6wYGyQdf00&list=PLZ9Gdw7RjzJEcB5mTxBWFpyHjgentjaM8&index=18

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up