Matematika Diskrit : Penyelesaian Relasi Rekurensi dengan Iterasi

Penyelesaian dengan Iterasi

Prinsipnya, dihitung suku-suku barisan secara berurutan terus menerus sehingga diperoleh suatu pola tertentu.

Misalnya

\[1 + 2 + 3 + … + n= \frac{n(n+1)}{2} \\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\\ 1+r+r^{2}+…+r^{n}= \frac{r^{n+1}-1}{r-1}, r>1 \]

Contoh 1:

Misalkan uang sebanyak Rp10.000 disimpan di bank dengan sistem bunga berbunga dengan besar bunga 11% per tahun. Berapa banyak uang setelah 30 tahun?

Penyelesaian

Misalkan Pn menyatakan nilai uang setalah n tahun.

Nilai uang setelah n tahun sama dengan nilai uang tahun sebelumnya ditambah dengan bunga uang
Pn = Pnโ€“1 + 0,11 Pnโ€“1
P0 = 10.000

\[ P_{n} \space = P_{n-1} + 0,11 P_{n-1} \space = (1,11) P_{n-1} \\ = (1,11) \space [(1,11)P_{n-2}] \space = (1,11)^{2} P_{n-2} \\ = (1,11)^{2} [(1,11)P_{n-3}] \space = (1,11)^{3} P_{n-3} \\ =… \\ =(1,11)^{n} P_{0} \]

Jadi, Pn= (1,11)n P0 = 10.000 (1,11)n
Setelah 30 tahun, banyaknya uang adalah P30 = 10.000 (1,11)30 = Rp228.922,9


Contoh 2:

Misalkan Kn adalah graf dengan n buah titik dan setiap pasang titik dihubungkan dengan sebuah garis (Graf Lengkap).

Jika Sn menyatakan jumlah garis dalam Kn, maka:

  1. Buktikan bahwa Sn memenuhi relasi rekurensi Sn = Sn-1 + (n-1) dan kondisi awal S1 = 0
  2. Selesaikan relasi rekurensi Sn tersebut

Penyelesaian
1. Kn untuk n = 1, 2, 3, 4, dan 5

Banyaknya garis dalam K4 adalah banyaknya garis K3 ditambah dengan banyaknya garis baru yang harus dibuat akibat penambahan satu buah titik.

Banyaknya garis baru yang ditambahkan pada K4 sama dengan banyaknya titik pada K3.

Jadi S4 = S3 + 3.

Secara umum, Sn = Sn-1 + (n-1)
Kondisi awal S1 = 0 jelas benar karena tidak mungkin membuat garis dari satu buah titik.

2. Sn = Sn-1 + (n-1)

= (Sn-2 + (n-2)) + (n-1) = Sn-2 + (n-2) + (n-1)

= (Sn-3 + (n-3)) + (n-2) + (n-1) = Sn-3 + (n-3) + (n-2) + (n-1)

= โ€ฆ

= Sn-(n-1) + (n-(n-1)) + โ€ฆ+ (n-3) + (n-2) + (n-1)

= S1 + 1 + 2 + โ€ฆ + (n-2) + (n-1)

Karena S1 = 0 maka Sn = 1 + 2 + โ€ฆ + (n-2) + (n-1) = ยฝ n (n-1)


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Rekursi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

https://www.youtube.com/watch?v=l3hzqZ082Ec&list=PLZ9Gdw7RjzJEcB5mTxBWFpyHjgentjaM8&index=14
Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up