Matematika Diskrit : Beberapa Fungsi Khusus

Fungsi Floor dan Ceiling

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

Fungsi floor dari x:

โŒŠxโŒ‹ menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

โŒˆxโŒ‰ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

Berikut contohnya:

Fungsi Floor
  • โŒŠ3.5โŒ‹ = 3
  • โŒŠ0.5โŒ‹ = 0
  • โŒŠ4.8โŒ‹ = 4
  • โŒŠ-0.5โŒ‹ = -1
  • โŒŠ-3.5โŒ‹ = -4
Fungsi Ceiling
  • โŒŠ3.5โŒ‹ = 4
  • โŒŠ0.5โŒ‹ = 1
  • โŒŠ4.8โŒ‹ = 5
  • โŒŠ-0.5โŒ‹ = 0
  • โŒŠ-3.5โŒ‹ = -3

Fungsi Modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 โ‰ค r < m

Contoh:

  • 25 mod 7 = 4
  • 15 mod 4 = 3
  • 3612 mod 45 = 12
  • 0 mod 5 = 5
  • โ€“25 mod 7 = 3 (sebab โ€“25 = 7 โ€ข (โ€“4) + 3 )

Fungsi Faktorial

\[ n! = \begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space ,n=0 \\ 1\times 2\times \cdots \times (n-1) \times n \space , n> 0 \end{cases} \]

Fungsi Eksponensial

\[ a^{n}=\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n=0 \\ \underbrace{a\times a\times \cdots \times a }_n \space \space , n> 0 \end{cases} \]

Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik berbentuk

\[ y = ^{a}log x \leftrightarrow x = a^{y} \]

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Contoh 1: n! = 1 ร— 2 ร— โ€ฆ ร— (n โ€“ 1) ร— n = (n โ€“ 1)! ร— n

\[ n!=\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space ,n=0 \\ n\times (n-1)! \space \space , n > 0 \\ \end{cases} \]

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

  1. Basis, bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.
  2. Rekurens, bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Contoh 2: definisi rekursif dari faktorial:

  • basis: n! = 1 , jika n = 0
  • rekurens: n! = n ร— (n -1)! , jika n > 0

Contoh 3: 5! dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5! = 5 ร— 4! (rekurens)

(2) 4! = 4 ร— 3!

(3) 3! = 3 ร— 2!

(4) 2! = 2 ร— 1!

(5) 1! = 1 ร— 0!

(6) 0! = 1

(6โ€™) 0! = 1

(5โ€™) 1! = 1 ร— 0! = 1 ร— 1 = 1

(4โ€™) 2! = 2 ร— 1! = 2 ร— 1 = 2

(3โ€™) 3! = 3 ร— 2! = 3 ร— 2 = 6

(2โ€™) 4! = 4 ร— 3! = 4 ร— 6 = 24

(1โ€™) 5! = 5 ร— 4! = 5 ร— 24 = 120

Sehingga diperoleh 5! = 120

Contoh fungsi rekursif lainnya:

Fungsi Chebysev

\[ T(n,x) =\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 0 \\ x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n=1 \\ 2xT(n-1,x)- T(n-2,x) \space \space \space \space , n > 1 \\ \end{cases} \]

Fungsi Fibonacci

\[ f(n)=\begin{cases} 0 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 0\\ 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 1\\ f(n-1) + f(n-2) \space \space , n>1 \\ \end{cases} \]

Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Fungsi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up