Matematika Diskrit : Sifat-Sifat Relasi

Refleksif (reflexive)

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap aA.

Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada aA sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Perhatikan bahwa relasi yang irrefleksif bukan berarti tidak refleksif. Relasi irrefleksif jika jika (a, a) ∉ R untuk setiap aA


Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

  • Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4)
  • Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) ∉ A

Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n

\[ \begin{vmatrix} 1 & \space & \space & \space & \space \\ \space & 1 & \space & \space & \space \\ & \space & \ddots & \space & \space \\ & \space & \space & 1 & \space \\ & & & & 1\\ \end{vmatrix} \]



Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.


Menghantar (transitive)

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, cA.

Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh : jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c


Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
R = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

Perhatikan tabel berikut

(a, b)(b, c)(a, c)
(3, 2)(2, 1) (3, 1)
(4, 2)(2, 1)(4, 1)
(4, 3)(3, 1)(4, 1)
(4, 3)(3, 2)(4, 2)

R = { (1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) ∉ R.

Relasi R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

Relasi R = { (1, 2), (3, 4) } menghantar karena tidak ada (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.


Setangkup (symmetric) dan Tolak-Setangkup (antisymmetric)

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a, bA.

Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) ∉ R.

Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, bA disebut tolak-setangkup.

Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.

Relasi yang tidak setangkup bukan berarti tolak-setangkup


Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

  • Relasi R = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
  • Relasi R = { (1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) ∉ R.
  • Relasi R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.
  • Relasi R = { (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.
  • Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R.
  • Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.
  • Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) ∈ R tetapi (2, 4) ∉ R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) ∈ R dan (3, 2) ∈ R tetapi 2 ≠ 3.

Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i j

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Relasi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up