Matematika Diskrit : Operasi-Operasi Relasi

Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan Rโ€“1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

Rโ€“1 = {(b, a) | (a, b) โˆˆ R }


Contoh

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) โˆˆ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}

Rโ€“1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) โˆˆ Rโ€“1 jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

\[M= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \]

maka matriks yang merepresentasikan relasi Rโ€“1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

\[ N=M^{T}= \begin{vmatrix} 1&0 &0 \\ 1&0 & 1\\ 1&0 & 1 \\ 0& 1 & 0 \\ 0&1 &0 \\ \end{vmatrix} \]

Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka

R1 โˆฉ R2, R1 โˆช R2, R1 โ€“ R2, dan R1 โจ R2 juga adalah relasi dari A ke B.


Contoh 1

A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}

Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

Sehingga,

R1 โˆฉ R2 = {(a, a)}

R1 โˆช R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R1 โ€“ R2 = {(b, b), (c, c)}

R2 โˆ’ R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R1 โจ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)


Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

MR1 โˆช R2 = MR1 โ‹ MR2 dan MR1 โˆฉ R2 = MR1 โ‹€ MR2


Contoh 2

Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

\[ R_{1}= \begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1&0 &1 \\ 1&1 &0 \\ \end{vmatrix} \]
\[ R_{2}= \begin{vmatrix} 0 &1 &0 \\ 0&1 &1 \\ 1&0 &0 \\ \end{vmatrix} \]

Sehingga

\[ M_{R1 \space \cup \space R2} = M_{R1} \vee M_{R2}= \begin{vmatrix} 1 &1 &0 \\ 1&1 &1 \\ 1&1 &0 \\ \end{vmatrix} \]
\[ M_{R1 \space \cap \space R2} = M_{R1} \wedge M_{R2}= \begin{vmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &1 \\ 1&0 &0 \\ \end{vmatrix} \]

Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ฮฟ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ฮฟ R = { (a, c) | a โˆˆ A, c โˆˆ C, dan untuk beberapa b โˆˆ B, (a, b) โˆˆ R dan (b, c) โˆˆ S }


Contoh 1

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8}

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah ,

S ฮฟ R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah :


Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR1 ฮฟ R2 = MR1 . MR2 yang dalam hal ini operator โ€œ.โ€ sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan โ€œโ‹€โ€ dan tanda tambah dengan โ€œโ‹โ€


Contoh 2

Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

\[ R_{1}= \begin{vmatrix} 1 &0 &1 \\ 1&1 &0 \\ 0&0 &0 \\ \end{vmatrix} \]
\[ R_{2}= \begin{vmatrix} 0 &1 &0 \\ 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ \end{vmatrix} \]

Maka matriks yang menyatakan R2 ฮฟ R1 adalah

\[M_{R2 \space ฮฟ \space R1} = M_{R1}\space . \space M_{R2} \]
\[ M_{R2 \space ฮฟ \space R1} = \begin{vmatrix} (1\wedge0)\vee(0\wedge0)\vee(1\wedge1) & (1\wedge0)\vee(0\wedge0)\vee(1\wedge0) &(1\wedge0)\vee(0\wedge1)\vee(1\wedge1) \\ (1\wedge0)\vee(1\wedge0)\vee(0\wedge1) & (1\wedge1)\vee(1\wedge0)\vee(0\wedge0) &(1\wedge0)\vee(1\wedge1)\vee(0\wedge1) \\ (0\wedge0)\vee(0\wedge0)\vee(0\wedge1) & (0\wedge1)\vee(0\wedge0)\vee(0\wedge0) &(0\wedge0)\vee(0\wedge1)\vee(0\wedge1) \\ \end{vmatrix} \]
\[ M_{R2\space ฮฟ \space R1}= \begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 0&1 &1 \\ 0&0 &0 \\ \end{vmatrix} \]

Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Relasi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up