Matematika Diskrit : Pembuktian-Pembuktian Himpunan

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

Proposisi dapat berupa :

  1. Kesamaan (identitiy), contoh : Buktikan “A โˆฉ (B โˆช C) = (A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ C)”
  2. Implikasi, contoh : Buktikan bahwa “Jika A โˆฉ B= โˆ… dan A โŠ† (B โˆช C) maka selalu berlaku bahwa A โŠ† C“.

Pembuktian dengan Diagram Venn

Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan daripada membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal

Contoh: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A โˆฉ (B โˆช C) = (A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ C) dengan diagram Venn.

Bukti :

Kedua diagram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A โˆฉ (B โˆช C) = (A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ C).


Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan

Contoh: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A โˆฉ (B โˆช C) = (A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ C).

ABCB โˆช CA โˆฉ (B โˆช C)A โˆฉ BA โˆฉ C(A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ C)
00000000
00110000
01010000
01110000
10000000
10111011
11011101
11111111

Pembuktian dengan Aljabar Himpunan

Contoh 1: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ Bc) = A

Bukti:

(A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ Bc) = A โˆฉ (B โˆช Bc) (Hukum Distributif)

(A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ Bc) = A โˆฉ U (Hukum Komplemen)

(A โˆฉ B) โˆช (A โˆฉ Bc) = A (Hukum Identitas)

Contoh 2: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A โˆช (B โ€“ A) = A โˆช B

Bukti:

A โˆช (B โ€“ A) = A โˆช (B โˆฉ Ac) (Definisi Operasi Selisih)

A โˆช (B โ€“ A) = (A โˆช B) โˆฉ (A โˆช Ac) (Hukum Distributif)

A โˆช (B โ€“ A) = (A โˆช B) โˆฉ U (Hukum Komplemen)

A โˆช (B โ€“ A) = A โˆช B (Hukum Identitas)


Pembuktian dengan Definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (โŠ† atau โŠ‚).

Contoh: Misalkan A dan B himpunan. Jika A โˆฉ B = โˆ… dan A โŠ† (B โˆช C) maka A โŠ† C. Buktikan!
Bukti:

  • Dari definisi himpunan bagian, P โŠ† Q jika dan hanya jika setiap x โˆˆ P juga โˆˆ Q. Misalkan x โˆˆ A. Karena A โŠ† (B โˆช C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga โˆˆ (B โˆช C). Dari definisi operasi gabungan (โˆช), x โˆˆ (B โˆช C) berarti x โˆˆ B atau x โˆˆ C
  • Karena x โˆˆ A dan A โˆฉ B = โˆ…, maka x โˆ‰ B

Dari pembuktian di atas, x โˆˆ C harus benar. Karena โˆ€x โˆˆ A juga berlaku x โˆˆ C, maka dapat disimpulkan A โŠ† C.


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Himpunan, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up