Matematika Diskrit : Hukum-Hukum Himpunan

Hukum-Hukum Himpunan

Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan atau dikenal juga sebagai hukum aljabar himpunan.

Hukum Identitas

\[ A \cup \varnothing = A \] \[ A\cap U=A \]

Hukum Dominasi (Null)

\[ A\cup \varnothing =\varnothing \] \[ A\cup U = U \]

Hukum Komplemen

\[ A\cup \bar{A} = U \] \[ A\cap \bar{A} = \varnothing \]

Hukum Idempoten

\[ A \cup A = A \] \[A \cap A= A \]

Hukum Involusi

\[ \overline { \bar{A} } = A \]

Hukum Penyerapan (Absorpsi)

\[ A \cup (A \cap B) = A \] \[ A \cap (A \cup B) = A \]

Hukum Komutatif

\[ A\cup B=B\cup A \] \[A\cap B=B\cap A \]

Hukum Asosiatif

\[ A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \] \[ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \]

Hukum Distributif

\[ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \] \[ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \]

Hukum De Morgan

\[ \overline{ A \cap B } = \bar{A} \cup \bar{B} \] \[ \overline{ A \cup B } = \bar{A} \cap \bar{B} \]

Hukum 0/1

\[ \bar{\varnothing} = U \] \[ \bar{U} = \varnothing \]

Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas merupakan dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti โˆช,โˆฉ, dan komplemen . Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti :

\[ \cup\rightarrow \cap \] \[ \cap\rightarrow \cup \] \[\varnothing \rightarrow U\] \[U \rightarrow \varnothing\]

Sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

contoh:

\[ Dual \space dari (A\cap B) \cup (A\cap \bar{B})=A \space adalah (A\cup B)\cap(A\cup \bar{B}=A\]

Hukum Identitas

\[ A\cup \varnothing =A \] \[Dualnya \rightarrow A\cap U=A \]

Hukum Dominasi (Null)

\[A\cup \varnothing =\varnothing \] \[Dualnya \rightarrow A\cup U=U\]

Hukum Komplemen

\[A\cup\bar{A}=U \] \[Dualnya \rightarrow A\cap \bar{A}=\varnothing \]

Hukum Idempoten

\[ A\cup A=A \] \[Dualnya \rightarrow A\cap A=A\]

Hukum Penyerapan (Absorpsi)

\[A\cup (A\cap B)=A \] \[Dualnya \rightarrow A \cap (A\cup B)=A\]

Hukum Komutatif

\[A\cup B=B\cup A\] \[Dualnya \rightarrow A\cap B=B\cap A\]

Hukum Asosiatif

\[A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\] \[Dualnya \rightarrow A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\]

Hukum Distributif

\[A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\] \[Dualnya \rightarrow A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cap (A\cap C)\]

Hukum De Morgan

\[ \overline{ A \cup B } = \bar{A} \cap \bar{B}\] \[Dualnya \rightarrow \overline{ A \cap B } = \bar{A} \cup \bar{B} \]

Hukum 0/1

\[\bar{\varnothing} = U \] \[Dualnya \rightarrow \bar{U} = \varnothing \]

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B

\[\left|A\cup B\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|-\left|A\cap B\right|\] \[\left|A\oplus B\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|-2\left|A\cap B\right|\]

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

\[ \left|A\cup B\cup C\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|\dotplus \left|C\right|-\left|A\cap B\right|-\left|A\cap C\right|-\left|B\cap C\right|+ \left|A\cap B\cap C\right|\]

Untuk himpunan Aโ‚, Aโ‚‚…. Ar, berlaku

\[ \left|A_{1}\cup A_{2}\cup …\cup A_{r} \right|= \] \[ \sum_{i} \left|A_{i} \right|-\sum_{1\leq i\leq j\leq r}\left|A_{i}\cap A_{j} \right|+\sum_{1\leq i\leq j\leq k\leq r}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k} \right|+…+(-1)^{r-1}\left|A_{1}\cap A_{2}\cap …\cap A_{r} \right| \]

Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, โ€ฆ dari A sedemikian sehingga:

  • Aโ‚ โˆช Aโ‚‚ โˆช …. = A, dan
  • Ai โˆฉ Aj = โˆ… untuk i โ‰  j

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.


Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Himpunan, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up