Kalkulus – Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Tertentu

  1. Diberikan \(f(x)=ax+b\) dan \(F(x)\) adadlah anti turunan \(f(x)\). Jika \(F(1)-F(0)=3\) maka \(2a+b\) adalah …

Jawab :

\[ F9x)=\int f(x0dx \] \[ F(x)=\int (a+bx)dx \] \[ F(x)=ax+\frac{1}{2}bx^{2}+c \] \[ F(1)=a(1)+\frac{1}{2}b(1)^{2}+c \] \[ F(1=a+\frac{1}{2}b+c \] \[ F(0)=a(0)+\frac{1}{2}b(0)^{2}+c \] \[ F(0)=c \]
\[\begin{aligned} F(1)-F(0) &=a+\frac{1}{2} b+c-c\\ 3 &=a+\frac{1}{2} b\\ 6 &= 2a+b \end{aligned}\]

2. Hitunglah \(\int \left ( \frac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2}dx\)

\[ \int \left ( \frac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2}dx \] \[ =\int \left ( \frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)} \right )^{2}dx \] \[ =\int \left ( \frac{(x^{2}-1)}{x} \right )^{2}dx \] \[ =\int \left ( \frac{x^{2}}{x}-\frac{1}{x} \right )^{2}dx \] \[ =\int \left ( x-x^{-1} \right )^{2}dx \] \[ =\int \left (x^{2}-2+x^{-2} \right )dx \] \[ =\frac{1}{3}x^{3}-2x-\frac{1}{x}+C \]

3. Misalkan fungsi \(f\) menenuhi \(f(x+5)=f(x)\) untuk setiap \(x \in R\). Jika \(\int_{1}^{5}f(x)dx=3\) dan \(\int_{-5}^{-4}f(x)dx=-2\) maka nilai \(\int_{5}^{15}f(x) dx\)=…

Jawab :

Karena \(f(x+5) =f(x)\) maka \(f(x)\) periodik dengan periode 5, sehingga berlaku

\[ \int_{1}^{5}f(x)dx=\int_{6}^{10}f(x)dx=\int_{11}^{15}f(x)dx=3 \] \[ \int_{-5}^{-4}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x) dx=\int_{5}^{6}f(x)dx=\int_{10}^{11}f(x)dx=-2 \]

Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka berlaku

\[\begin{aligned} \int_{5}^{11}f(x)dx &=\int_{5}^{6}f(x)dx+\int_{6}^{10}f(x)dx+\int_{10}^{11}f(x)dx+\int_{11}^{15}f(x)dx\\ &=-2+3+(-2)+3\\ &=2 \end{aligned}\]

4. Jika \(\int_{a}^{b}f'(x) f(x) dx=10\) dan \(f(a)=2+f(b)\) , nilai \(f(b)\) = …

Jawab :

ntuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan \(u=f(x)\), sehingga beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:

\[ u=f(x) \] \[ \frac{du}{dx}=f'(x) \] \[ du=f'(x)dx \]

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}f(x)f'(x)dx &=10\\ \int_{a}^{b}udu &10\\ \left [ \frac{1}{2}u^{2}\right ]_{a}^{b} &=10\\ \left [ \frac{1}{2}(f(x))^{2}\right ]_{a}^{b} &=10\\ \left [ \frac{1}{2}(f(b))^{2} \right ] – \left [ \frac{1}{2}(f(a))^{2} \right ]&=10\\ (f(b))^{2}-(f(a))^{2} &=20\\ (f(b)-f(a))(f(b)+f(a))&=20\\ (f(b)-2-f(b))(f(b)+2+f(b)) &=20\\ (-2)(2f(b)+2) &=20\\ 2f(b)+2 &==10\\ 2f(b) &=-12\\ f(b) &=-6 \end{aligned}\]

5. Hasil dari \(\int \left ( 3x^{2}-5x+4 \right ) dx\) = …

Jawab :

\[ \int \left ( 3x^{2}-5x+4 \right ) dx \] \[ =x^{3}-\frac{5}{2}+4x+C \]

Materi Lengkap

Berikut adalah materi lainnya yang membahas mengenai Integral.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up