Kalkulus – Teknik Pengintegralan Substitusi

Bentuk Substitusi Umum

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus \(\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c\). Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

\[ \int \left [ f(u)\frac{du}{dx} \right ] dx=\int f(u) du \]

Contoh Soal Integral Substitusi Umum

\[ \int (5x - 2)^3 dx \]

Jawab :

Misal \(u=5x-2\) sehingga \(du=5dx\) dan \(dx=\frac{1}{5}du\) , jadi

\[\begin{aligned} \int (5x-2)^{3}dx &=\int u^{3}\frac{1}{5}du\\ &=\frac{1}{5} \int u^{3}du\\ &=\frac{1}{5} \left( \frac{1}{4}u^{4} \right ) +c\\ &=\frac{1}{20}(5x-2)^{4}+c \end{aligned}\]

Integral yang Memuat Bentuk \( \sqrt{a^2 - x^2} \), \( \sqrt{a^2 + x^2} \), dan \( \sqrt{x^2 - a^2} \)

Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\), \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) dan \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\), kita menggunakan teknik integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dengan baik tabel berikut.

Bentuk Substitusi Hasil
\[\sqrt{a^{2}-x^{2}}\] \[x=a \sin \theta\] \[\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a \cos \theta\]
\[\sqrt{a^{2}+x^{2}}\] \[x=a \tan \theta\] \[\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a \sec \theta\]
\[\sqrt{x^{2}-a^{2}}\] \[x=a \sec \theta\] \[\sqrt{x^{2}-a^{2}}= a \tan \theta\]

Contoh Soal Integral Substitusi Trigonometri

Hitunglah \(\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}dx \)

Jawab :

Misal \(x=2 \sin \theta\) , maka \(\sin \theta = \frac{x}{2}\) , sehingga \(dx = 2 \cos \theta d\theta\). Untuk batas-batasnya berubah dari \(0\) menjadi \(0\) dan dari \(2\) menjadi \(\frac{\pi}{2}\) . Diperoleh bentuk seperti berikut

\[\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}dx &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos \theta d\theta}{\sqrt{4-4\sin^{2} \theta}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\\cos \theta}{2\cos \theta}d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\\ &=\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\]

Materi Lengkap

Berikut adalah materi lainnya yang membahas mengenai Integral.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up