Kalkulus – Turunan Fungsi Trigonometri

Aturan-aturan

Beberapa aturan yang digunakan pada turunan fungsi trigonometri, sebagai berikut :

f(x) f'(x)
\[\sin U\] \[\cos U \cdot U’\]
\[\cos U\] \[-\sin U \cdot U’\]
\[\tan U\] \[\sec^{2}U \cdot U’\]
\[\sec U\] \[\sec U \cdot \tan U \cdot U’\]
\[\cot U\] \[-\csc^{2}U \cdot U’\]
\[\csc U\] \[\csc Uยทcot U \cdot U’\]

Contoh Soal dan Penyelesaian

Pengerjaan bentuk U + V dan U – V

Contoh 1

Tentukan turunan dari

\[ f(x)=2 \cos x – \sin 4x + \tan x \]

Jawab 1

\[ f'(x) = -2 \sin x – 4 \cos 4x + \sec^{2}x \]

Contoh 2

Tentukan turunan dari

\[ h(x) = \cos x + x \sin x – x^{3}+5 \]

Jawab 2

\[ h'(x)= – \sin x + (1) (\sin x) + (1)(\cos x) – 3x^{2}+0 \] \[ h'(x)= – \sin x + \sin x + x \cos x – 3x^{2} \] \[ h'(x)= x \cos x – 3x^{2} \]

Pengerjaan bentuk U ยท V

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dan kedua dari

\[ y=(\sin x – \cos x)(\sin x + \cos x) \]

Jawab 1

\[ U= \sin x – \cos x \] \[ V= \sin x + \cos x \] \[ U’= \cos x + \sin x \] \[ V’= \cos x – \sin x \] \[ y’= U’V + UV’ \] \[ y’=(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x)+(\sin x – \cos x)(\cos x – \sin x) \] \[ y’= \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x – (\sin^{2} x – 2 \sin x \cos x + \cos^{2}x) \] \[ y’=4 \sin x \cos x \] \[ y’=2 \sin 2x \] \[ y”=4 \cos 2x \]

Contoh 2

Tentukan turunan dari

\[ y=4 \sin^{2} x \cos 2x \]

Jawab 2

\[ U= 4 \sin^{2}x \] \[ V= \cos 2x \] \[ U’=4(2 \sin x \cos x) \] \[ U’=4 \sin 2x \] \[ V’=-2 \sin 2x \] \[ y’=U’V+UV’ \] \[ y’=(4 \sin 2x)(\cos 2x)+(4 \sin^{2} x)(-2 \sin 2x) \] \[ y’=2 \sin 4x – 8 \sin^{2} x \sin 2x \]

Pengerjaan Bentuk U/V

Contoh 1

Tentukan nilai y’ dari

\[ y=\frac{\sin x}{1- \cos x} \]

Jawab 1

\[ U=\sin x \] \[ V=1-\cos x \] \[ U’=\cos x \] \[ V’=\sin x \] \[ y’=\frac{U’V-UV’}{V^{2}} \] \[ y’=\frac{(\cos x)(1-\cos x)-(\sin x)(\sin x)}{(1-\cos x)^{2}} \] \[ y’=\frac{\cos x-\cos^{2} x-\sin^{2} x}{(1-\cos x)(1-\cos x)} \] \[ y’=\frac{-(-\cos x+(\cos^{2} x+\sin^{2} x))}{(1-\cos x)(1-\cos x)} \] \[ y’=\frac{-(-\cos x+x)}{(1-\cos x)(1-\cos x)} \] \[ y’=\frac{1}{\cos x-1} \]

Contoh 2

Tentukan turunan dari

\[ f(x)=\frac{x+sinx}{1+cosx} \]

Jawab 2

\[ U=x+sinx \] \[ V=1+cosx \] \[ U’=1+cosx \] \[ V’=-sinx \] \[ f'(x)=\frac{U’V-UV’}{V^{2}} \] \[ f'(x)=\frac{(1+cosx)(1+cosx)-(xsinx)(-sinx)}{(1+cosx)^{2}} \] \[ f'(x)=\frac{1+2cosx+cos^{2}x+xsinx+sin^{2}x}{(1+cosx)^{2}} \] \[ f'(x)=\frac{2+xsinx+2cosx}{(1+cosx)^{2}} \]

Pengerjaan Bentuk Un

Contoh 1

Tentukan turunan dari

\[ y=\sin^{7}(5x^{2}-\frac{\pi}{2}) \]

Jawab 1

\[ y’=n(U^{n-1})U’ \] \[ y’=7 \sin^{7-1}(5x^{2}-\frac{\pi}{2}) \cos(5x^{2}-\frac{\pi}{2})(2(5x^{2-1}-0) \] \[ y’=70x \sin^{6}(5x^{2}-\frac{\pi}{2}) \cos(5x^{2}-\frac{\pi}{2}) \]

Contoh 2

Tentukan turunan dari

\[ f(x)=\sec^{10}(3-5x) \]

Jawab 2

\[ f'(x)=10 \sec^{10}(3-5x) \sec(3-5x) \tan(3-5x)(-5) \] \[ f'(x)=-50 \sec10(3-5x) \tan(3-5x) \]

Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up