Kalkulus – Turunan Fungsi Aljabar

Aturan-aturan

Beberapa aturan yang digunakan pada turunan fungsi aljabar, sebagai berikut :

f(x) f'(x)
\[k(konstanta)\] \[0\]
\[kยทx\] \[k\]
\[nยทkยทx^{n-1}\] \[kยทx^{n}\]

Contoh Soal dan Penyelesaian

Pengerjaan bentuk U + V dan U – V

Contoh 1

\[ y=x^{4}-5x^{2}-7 \]

Jawab 1

\[ y’=4x^{4-1}-2.5x^{2-1}-0 \] \[ y’=4x^{3}-10x \]

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dan kedua dari

\[ f(x)=(x-5)(x+7) \]

Jawab 2

\[ f(x) = x^{2}+2x-35 \] \[ f'(x)=2x^{2-1}+2-0 \] \[ f'(x)=2x+2 \] \[ f”(x)=2 \]

Contoh 3

Tentukan turunan dari

\[ f(x)=3x\sqrt{x}-7\sqrt{x}-5x \]

Jawab 3

\[ f(x)=3x^{\frac{3}{2}}-7x^{\frac{1}{2}}-5x \] \[ f'(x)=3.\frac{3}{2}.x^{\frac{1}{2}}-7.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}}-5 \] \[ f'(x)=\frac{9}{2}\sqrt{x}-\frac{7}{2\sqrt{x}}-5 \]

Contoh 4

Tentukan turunan y terhadap x dari

\[ y=2a^{2}x^{2}-3ax^{4}+5x+a+7 \]

Jawab 4

\[ \frac{dy}{dx}=2.2a^{2}.x^{2-1}-4.3a.x^{4-1}+5+0 \] \[ \frac{dy}{dx}=4a^{2}x-12ax^{3}+5 \]

Pengerjaan Bentuk U ยท V

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari

\[ y=2x^{2}\sqrt{2-x} \]

Jawab 1

\[ U=2x^{2} \] \[ V=\sqrt{2-x}=(2-x)^{\frac{1}{2}} \] \[ U’=4x \] \[ V’=\frac{1}{2}(2-x)^{\frac{-1}{2}}(-1)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}\] \[ y’=U’V+UV’ \] \[ y’=4x\sqrt{2-x}+2x^{2}\frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \] \[ y’=\frac{8x-4x^{2}-x^{2}}{\sqrt{2-x}} \] \[ y’=\frac{8x-5x^{2}}{\sqrt{2-x}} \]

Contoh 2

Tentukan turunan dari

\[ f(x)=(3x+4)(8-x) \]

Jawab 2

\[ U=3x+4 \] \[ V=8-x \] \[ U’=3 \] \[ V’=-1 \] \[ f'(x)=U’V+UV’ \] \[ f'(x)=(3)(8-x)+(3x+4)(-1) \] \[ f'(x)=24-3x-3x-4 \] \[ f'(x)=20-6x \]

Contoh 3

Tentukan turunan kedua dari f(x) dan nilai f”(1)

\[ f(x)=(x-2)^{2}(3-x) \]

Jawab 3

\[ U=(x-2)^{2} \] \[ V=3-x \] \[ U’=2(x-2)(1)=2x-4 \] \[ V’=-1 \] \[ f'(x)=U’V+UV” \] \[ f'(x)=(2x-4)(3-x)+(x-2)^{2}(-1) \] \[ f'(x)=6x-2x^{2}-12+4x=x^{2}+4x-4 \] \[ f'(x)=-3x^{2}+14x-16 \] \[ f”(x)=(2)(-3x^{2-1})+14-0 \] \[ f”(x)=-6x+14 \] \[ f”(1)=-6(1)+14 \] \[ f”(1)=8 \]

Contoh 4

Tentukan da/db dari

\[ a=(2b-4)(b-1)(3-b) \]

Jawab 4

\[ U=2b-4 \] \[ V=b-1 \] \[ W=3-b \] \[ U’=2 \] \[ V’=1 \] \[ W’=-1 \] \[ \frac{da}{db}=U’VW+UV’W+UVW’ \] \[ =2(b-1)(3-b)+(2b-4)(1)(3-b)+(2b-4)(b-1)(-1) \] \[ =2(3b-b^{2}-3+b)+(6b-2b^{2}-12+4b)-(2b^{2}-2b-4b+4) \] \[ =8b-2b^{2}-6+10b-2b^{2}-12-2b^{2}+b-4 \] \[ \frac{da}{db}=19b-6b^{2}-22 \]

Pengerjaan Bentuk U / V

Contoh 1

Tentukan y’ dari

\[ y=\frac{3x+2}{2x+3} \]

Jawab 1

\[ U=3x+2 \] \[ V=2x+3 \] \[ U’=3 \] \[ V’=2 \] \[ y’=\frac{U’V-UV’}{V^{2}} \] \[ y’=\frac{(3)(2x+3)-(3x+2)(2)}{(2x+3)^{2}} \] \[ y’=\frac{6x+9-6x-4}{4x^{2}+12x+9} \] \[ y’=\frac{5}{4x^{2}+12x+9} \]

Contoh 2

Tentukan nilai f'(x) dari

\[ f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \]

Jawab 2

\[ U=1 \] \[ V=1+x^{-1} \] \[ U’=0 \] \[ V’=-x^{-2} \] \[ f'(x)=\frac{U’V-UV’}{V^{2}} \] \[ f'(x)=\frac{(0)(1+x^{-1})-(1+x^{-1})^{2}}{(1+x^{-1})^{2}} \] \[ f'(x)=\frac{x^{-2}}{1+2x^{-1}+x^{-2}}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}} \] \[ f'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+1} \]

Pengerjaan Bentuk Un

Contoh 1

Tentukan turunan dari

\[ y=(1-5x)^{6} \]

Jawab 1

\[ y’=6(1-5x)^{6-1}(-5) \] \[ y’=-30(1-5x)^{5} \]

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dan kedua dari

\[ y=(x-2)^{3} \]

Jawab 2

\[ y’=3(x-2)^{3-1}(1) \] \[ y’=3(x-2)^{2}=3(x^{2}-4x+4) \] \[ y’=3x^{2}-12x+12 \] \[ y”=3(2x^{2-1})-12 \] \[ y”=6x-12 \]

Contoh 3

Tentukan turunan dari

\[ g(x)=(\sqrt{x}-5)^{2}+2\sqrt{x}+2 \]

Jawab 3

\[ U=\sqrt{x}-5=x^{\frac{1}{2}}-5 \] \[ V=2\sqrt{x}=2x^{\frac{1}{2}} \] \[ W=2 \] \[ U’=\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ V’=2\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \] \[ W’=0 \] \[ g'(x)=2(\sqrt{x}-5)\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+0 \] \[ g'(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x-4\sqrt{x}}{x} \] \[ g'(x)=1-\frac{4\sqrt{x}}{x} \]

Tonton juga playlist pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up