Sebaran Gabungan – Sebaran Diskrit

Sebaran Diskrit Gabungan

Definisi

pdf gabungan dari suatu peubah acak diskrit X = (X1, X2, …, Xk) didefinisikan sebagai f(x1, x2, …, xk) = P[X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk] untuk semua nilai yang mungkin x = (x1, x2, …, xk) dari X.

Dalam konteks ini, [X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk] mewakili irisan atau interseksi dari k kejadian, yaitu:

\[ [X_1 = x_1] \cap [X_2 = x_2] \cap \cdots \cap [X_k = x_k] \]

Syarat

Fungsi f(x,y) adalah sebaran gabungan dari peubah acak diskrit X dan Y, jika:

  • f(x,y) โ‰ฅ 0 untuk semua (x,y)
  • โˆ‘xโˆ‘y f(x,y) = 1
  • P(X = x, Y = y) = f(x,y)

Untuk tiap daerah A di bidang (x,y), berlaku P[(X,Y) โˆˆ A] = โˆ‘Aโˆ‘f(x,y)

Sifat

Sebuah fungsi f(x1, x2, …, xk) adalah pdf gabungan dari beberapa nilai vektor peubah acak X = (X1, X2, …, Xk) jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut:

  • f(x1, x2, …, xk) โ‰ฅ 0 untuk semua nilai yang mungkin (x1, x2, …, xk)
  • โˆ‘๐‘ฅ1 … โˆ‘๐‘ฅk f(x1, x2, …, xk) = 1

CDF Gabungan

CDF gabungan dari suatu peubah acak X = (X1, X2, …, Xk) adalah sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut.

\[ F(x_1, \cdots, x_k) = P[X_1 \leq x_1, \cdots, X_k \leq x_k] \]

Extended Hypergeometric Distribution

Definisi

Anggap terdapat sekelompok item sebanyak N dengan k + 1 jenis yang berbeda. Jenis 1 sebanyak M1, jenis 2 sebanyak M2, dst. Kemudian diambil sebanyak n item tanpa pengembalian. Anggap i adalah banyaknya item jenis i yang terambil. Maka vektor peubah acak X = (X1, X2, …, Xk) memiliki Ekstended Hypergeometric Distribution dengan pdf gabungan sebagai berikut.

\[ f(x_1, x_2, \cdots, x_k) = \frac{\binom{M_1}{x_1} \binom{M_2}{x_2} \cdots \binom{M_k}{x_k} \binom{M_{k+1}}{x_{k+1}}}{\binom{N}{n}} \] \[ untuk \: semua \: 0 \leq x_i \leq M_i \: dimana \: M_{K+i} = N- \sum_{i=1}^{k} M_i \: dan \: x_{k+1} = n – \sum_{i=1}^{k} x_i \]

Bentuk Lain

Dapat dituliskan juga seperti berikut.

\[ X \sim Hyp(n, M_1, M_2, \cdots, M_k, N) \]

Sebaran Multinomial

Definisi

Anggap terdapat sebanyak k + 1 kejadian yang mutually exclusive dan exhaustive E1, E2, …, Ek, Ek+1 yang dapat terjadi pada beberapa percobaan atau eksperimen. Anggap pi = P(Ei) untuk i = 1, 2, …, k, k+1. Dalam n percobaan independen dalam eksperimen, anggap Xi adalah banyaknya kemunculan kejadian Ei. Maka vektor peubah acak X = (X1, X2, …, Xk) dikatakan memiliki sebaran multinomial dengan pdf gabungan sebagai berikut.

\[ f(x_1, x_2, \cdots, x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_{k+1}!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_{k+1}^{k+1} \] \[ untuk \: semua \: 0 \leq x_i \leq n \: dimana \: x_{k+1} = n – \sum_{i=1}^{k} x_i \: dan \: p_{k+1} = 1 – \sum_{i=1}^{k} p_i \]

Bentuk Lain

Dapat dituliskan juga seperti berikut.

\[ X \sim Mult(n, p_1, p_2, \cdots, p_k) \]

Catatan

  • mutually exclusive
    saling tidak mempengaruhi satu sama lain
  • exhaustive
    lengkap dan terbatas, artinya tiap kejadian tidak memiliki keluaran yang sama dan secara bersama-sama memuat keseluruhan di dalam ruang sampel

Marginal pdf Diskrit

Jika x1 dan x2 adalah peubah acak diskrit dan memiliki pdf gabungan, maka marginal pdf (individual pdf) dari X1 dan X2 adalah sebagai berikut.

\[ f_1(x_1) = \sum_{x_2} f(x_1, x_2) \] \[ f_2(x_2) = \sum_{x_1} f(x_1, x_2) \]

Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Sebaran Gabungan, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up