Metode Statistika – Ukuran Pemusatan

Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok). Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interpretasi dan mengambil suatu keputusan. Ukuran pemusatan terdiri dari rata-rata, median, dan mean.


Rata-Rata (Mean)

Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh nilai data kemudian dibagi dengan banyaknya (jumlah) data. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan antara lain:

Rata-Rata Hitung (Arithmetic Mean)

Rata-Rata Hitung Tidak Tertimbang

Jika x1, x2, …, xn adalah kumpulan data sebanyak n sampel dari N populasi dimana xi adalah nilai karakteristik unit sampel ke-i, maka rata-rata hitungnya adalah sebagai berikut.

Sampel
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Populasi
\[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]
Data Berkelompok
\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} M_if_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \]

Mi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
k = banyaknya kelas

Rata-Rata Hitung Tertimbang

Penimbang (Wi) adalah suatu angka yang dipakai sebagai penimbang atau pembobot dari setiap nilai xi agar nilai statistik yang dihasilkan lebih akurat / teliti. Pemilihan angka penimbang (timbangan) adalah angka atau ukuran yang relatif (ada hubungannya dengan data yang dihitung).

\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Rata-Rata Harmonis (Harmonic Mean)

Rata-rata ukur adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan. Rata-rata harmonis ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Baik digunakan jika data yang ada (populasi atau sampel) mempunyai beberapa pencilan.

k = banyaknya kelas atau kelompok
fi = frekuensi kelas ke-i
xi = nilai tengah pada kelas ke-i

Data Tunggal

\[ R_h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

Data Berkelompok

\[ R_h = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i}{\sum_{i=1}^{k} \frac{f_i}{x_i}} \]

Harmonis Tertimbang

\[ R_h = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i}{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}} \]

Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata ukur digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain saling berkelipatan. Rata-rata ukur ini sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan.

Data Tunggal

\[ G = \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \] \[ G = (x_1x_2 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \]
\[ \log (G) = \log(x_1x_2 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \] \[ \log (G) = \frac{1}{n}(\log(x_1) + \cdots + \log(x_n)) \] \[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log (x_i) \]
\[ G = antilog (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log (x_i)) \]

n = banyaknya data
xi = nilai perubahan relatif (dalam persentase) per satuan waktu

Data Berkelompok

\[ G = (x_1^{f_1} x_2^{f_2} \cdots x_k^{f_k})^{\frac{1}{n}} \] \[ G = (\prod_{i=1}^{k} x_i^{f_i})^{\frac{1}{n}} \]
\[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} \log (x_i)^{f_i} \] \[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i \log (x_i) \]
\[ G = antilog (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i \log (x_i)) \]

xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
Π = perkalian
∑ = penjumlahan

Tingkat Bunga Majemuk

\[ P_n = P_0(1+r)^n \] \[ r = \sqrt[n]{\frac{P_n}{P_0} - 1} \]

Pn = jumlah akumulasi pada akhir tahun ke-n
P0 = jumlah uang mula-mula
r = tingkat bunga (dalam desimal)

Plus Minus

Kelebihan

  • Rata-rata lebih populer dan lebih mudah digunakan
  • Dalam satu set data, rata-rata selalu ada dan hanya ada satu rata-rata
  • Dalam penghitungannya selalu mempertimbangkan semua nilai data
  • Tidak peka terhadap penambahan jumlah data
  • Variasinya paling stabil
  • Cocok digunakan untuk data yang homogen

Kekurangan

  • Rata-rata sangat peka terhadap angka-angka ekstrem. Dengan demikian, rata-rata dari serangkaian data yang memiliki angka ekstrem akan menjadi kurang representatif
  • Untuk data kualitatif, rata-rata tidak dapat digunakan untuk menentukan ukuran pusat datanya
  • Untuk data yang telah dikelompokkan, hasil perhitungannya tidak mencerminkan rata-rata yang sesungguhnya
  • Untuk data yang telah dikelompokkan dengan kelas terbuka, rata-ratanya tidak dapat dihitung

Nilai Tengah (Median)

Median adalah suatu nilai yang terletak di tengah kelompok data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Karena suatu kelompok terbagi atas dua jenis yaitu kelompok ganjil dan kelompok genap maka terdapat dua solusi menentukan median yang dapat digunakan untuk kasus tersebut.

Data Tunggal

Pada data tunggal, median ditentukan sebagai berikut.

Data Ganjil

\[ Med = x_{\frac{n}{2}} \]

Data Genap

\[ Med = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \]

Keterangan

Med = median data
xn/2 = data ke-n/2
x(n/2) + 1 = data ke-(n/2) + 1

Data Berkelompok

\[ Med = t_b + (\frac{\frac{n}{2} - F_{kum}}{f_i}) k \]

Med = median
tb = tepi bawah kelas median
n = banyak data
Fkum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
fi = frekuensi kelas makan
k = panjang kelas

Plus Minus

Kelebihan

  • Tidak dipengaruhi oleh data ekstrem
  • Dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif
  • Cocok untuk data heterogen

Kekurangan

  • Tidak mempertimbangkan semua nilai data
  • Kurang menggambarkan rata-rata populasi
  • Peka terhadap penambahan jumlah data
  • Median hanya dapat ditentukan dari data yang telah diurutkan, sehingga hal ini membutuhkan waktu yang tidak sedikit

Modus

Modus adalah nilai berfrekuensi tertinggi / atau terbanyak dari sekelompok data. Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai modus atau mungkin mempunyai dua modus atau lebih. Distribusi disebut unimodal, kalau mempunyai satu modus, bimodal kalau mempunyai dua modus atau multimodal kalau mempunyai lebih dari dua modus.

Data Tunggal

\[ modus = mean- 3(mean - median) \]

Data Berkelompok

\[ Mo = L_{Mo} + I(\frac{f_{m1}}{f_{m1} + f_{m2}}) \]

Keterangan

Lmo = tepi bawah kelas modus
I = interval kelas
fm1 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan kelas sebelumnya
fm2 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan kelas setelahnya

Plus Minus

Kelebihan

  1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrem
  2. Cocok digunakan untuk data kuantitatif maupun kualitatif

Kekurangan

  1. Modus tidak selalu ada dalam satu set data
  2. Kadang dalam satu set data terdapat dua atau lebih modus
  3. Kurang mempertimbangkan semua nilai
  4. Peka terhadap penambahan jumlah data

Materi Lengkap

Berikut adalah beberapa materi lengkap yang membahas tuntas mengenai Ukuran.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
Up