Peubah Acak dan Sebarannya – Fungsi Pembangkit Faktorial Momen

Fungsi Pembangkit Faktorial Momen

Fungsi Pembangkit Faktorial Momen atau Factorial Moment Generative Function (FMGF) dari X didefinisikan sebagai berikut.

\[ G_x(t) = E(t^x), \: untuk \: 1-h < t < 1+h \]

Hubungan MGF dan FMGF

\[ G_x(t) = E(t^x) = E(e^{\ln t^x}) = E(e^{x \ln t}) = M_x (\ln t) \]

Jika X mempunyai FMGF, maka berlaku sebagai berikut.

\[ G'_x(1) = E[X] \] \[ G''_x(1) = E[X(X-1)] \] \[ \cdots \] \[ G^r_x(1) = E[ X(X-1)(X-2) \cdots (X-r+1) ] \]

Catatan

\[ E[X(X-1)] = E[X^2 - X] = E[X^2] - E[X] \]

Sehingga...

\[ E[X^2] = E[X] + E[X(X-1)] \]

Contoh

Variabel peubah acak diskrit mempunyai pdf sebagai berikut.

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} (\frac{1}{2})^{x+1}, \: untuk \: x=0,1,2,\cdots \\ 0, \: untuk \: x \: lainnya \end{matrix}\right. \]

Tentukan FMGF, mean, dan varians!

Clue!

\[ M_x(t) = \frac{1}{2-e^t} \]

Jawaban

Menentukan FMGF

\[ G_x(t) = M_x(\ln t) \] \[ G_x(t) = \frac{1}{2-e^{\ln t}} \] \[ G_x(t) = \frac{1}{2-t}, t < 2 \]

Jadi, FMGF-nya adalah 1/(2 - t) untuk t < 2

Menentukan Mean

\[ G'_x(t) = -1(2-t)^{-2}(-1) \] \[ G'_x(t) = (2-t)^{-2} \]

\[ E[X] = G'_x(1) \] \[ E[X] = (2-1)^{-2} \] \[ E[X] = 1 \]

Jadi, didapatkan mean sebesar 1

Menentukan Varians

\[ G''_x(t) = -2(2-t)^{-3}(-1) \] \[ G''_x(t) = 2(2-t)^{-3} \]

\[ E[X(X-1)] = G''_x(1) \] \[ E[X(X-1)] = 2(2-1)^{-3} \] \[ E[X(X-1)] = 2 \] \[ E[X^2 - X] = 2 \] \[ E[X^2] - E[X] = 2 \] \[ E[X^2] = 2 + E[X] \] \[ E[X^2] = 2 + 1 \] \[ E[X^2] = 3 \]

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] \[ Var(X) = 3 - 1^2 \] \[ Var(X) = 2 \]

Jadi, didapatkan varians sebesar 2


Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up