Peubah Acak dan Sebarannya – Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi Pembangkit Momen

Jika X adalah peubah acak, maka Fungsi Pembangkit Momen atau Moment Generative Function (MGF) dari X didefinisikan sebagai berikut.

\[ M_x(t) = E(e^{tx}) = \left\{\begin{matrix} \sum_{R_x} e^{tx} f(x), \: untuk \: X \: diskrit \\ \int_{R_x} e^{tx} f(x) dx, \: untuk \: X \: kontinu \end{matrix}\right. \]

Pembuktian

\[ M_x(t) = \sum e^{tx} f(x) \] \[ M'_x(t) = \sum x e^{tx} f(x) \] \[ M''_x(t) = \sum x^2 e^{tx} f(x) \] \[ \cdots \] \[ M_x^r(t) = \sum x^r e^{tx} f(x) \]

Jika t = 0, maka:

\[ M'_x(0) = \sum x f(x) = E(X) \] \[ M''_x(0) = \sum x^2 f(x) = E(X^2) \] \[ \cdots \] \[ M_x^r(0) = \sum x^r f(x) = E(X^r) \]

Sifat

\[ Jika \: y = ax+b, \: maka \: MGF-nya \: adalah \: M_y(t) = e^{bt} M_x(at) \] \[ Jika \: y = x - \mu, \: maka \: MGF-nya \: adalah \: M_y(t) = e^{-\mu t} m_x(t) \]

Contoh

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f(x) = e -x dan x > 0, maka tentukan MGF, mean, dan varians!

Menentukan MGF

Pertama, mari kita temukan MGF yang sesuai dari pdf yang diberikan.

\[ M_x(t) = \int_x e^{tx} f(x) dx \] \[ M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx} e^{-x} dx \] \[ M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx-x} dx \] \[ M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{(t-1)x} dx \] \[ M_x(t) = [ \frac{e^{(t-1)x}}{t-1} ]^{\infty}_{0} \] \[ M_x(t) = \frac{1}{t-1} [e^{-(1-t)x}]_{0}^{\infty} \] \[ M_x(t) = \frac{1}{t-1} (0-1) \] \[ M_x(t) = \frac{1}{1-t}, t< 1 \] \[ M_x(t) = (1-t)^{-1} \]

Jadi, didapatkan persamaan MGF-nya adalah (1 - t) -1

Menentukan Mean

\[ M'_x(t) = -(1-t)^{-2}(-1) \] \[ M'_x(t) = (1-t)^{-2} \]

\[ E(X) = M'_x(0) \] \[ E(X) = (1-0)^{-2} \] \[ E(X) = 1 \]

Jadi, didapatkan nilai mean sebesar 1

Menentukan Varians

\[ M''_x(t) = -2(1-t)^{-3}(-1) \] \[ M''_x(t) = 2(1-t)^{-3} \]

\[ E(X^2) = M''_x(0) \] \[ E(X^2) = 2(1-0)^{-3} \] \[ E(X^2) = 2 \]

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] \[ Var(X) = 2 - 1 \] \[ Var(X) = 1 \]

Jadi, didapatkan nilai varians sebesar 1


Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up