Peubah Acak dan Sebarannya – Mean dan Varians Peubah Acak

Mean dan Varians

Mean

Mean adalah harapan matematis untuk u(x) = x

\[ E(X) = \mu_x = \left\{\begin{matrix} \sum_{R_X} xf(x), \: untuk \: X \: diskrit \\ \int_{R_X} xf(x) dx, \: untuk \: X \: kontinu \end{matrix}\right. \]

Varians

Varians adalah harapan matematis dari u(x) = (x – ฮผ)2

\[ Var(X) = \sigma_x^2 = \left\{\begin{matrix} \sum_{R_X} (x-\mu)^2 f(x), \: untuk \: X \: diskrit \\ \int_{R_X} (x-\mu)^2 f(x) dx, \: untuk \: X \: kontinu \end{matrix}\right. \] \[ Var(X) = E(X – \mu_x)^2 \] \[ Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \]

Contoh

Nomor 1

Diketahui peubah acak diskrit X dengan fungsi kepadatan peluang seperti pada tabel berikut. Hitunglah mean dan variansnya.

x 1 3 4 5 6 Total
f(x) 1/10 2/10 3/10 3/10 1/10 1

Dari tabel tersebut, bisa kita dapatkan tabel seperti di bawah ini.

x f(x) 1/10 6/10 12/10 15/10 6/10 4
x2 1 9 16 25 36
x2 f(x) 1/10 18/10 48/10 75/10 36/10 178/10

Tabel di atas digunakan untuk mempermudah penghitungan hasil.

\[ E(X) = \sum_{R_x} x f(x) = 1 \cdot \frac{1}{10} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{10} = 4 \]

Jadi didapatkan mean sebesar 4

\[ E(X^2) = \sum_{R_x} x^2 f(x) = 1 \cdot \frac{1}{10} + \cdots + 36 \cdot \frac{1}{10} = \frac{178}{10} \]
\[ Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = \frac{178}{10} – 4^2 = \frac{18}{10} \]

Jadi didapatkan varians sebesar 18/10

Nomor 2

Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp sebagai berikut.

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} 1+x, \: untuk \: -1 \leq x \leq 0 \\ 1-x, \: untuk \: 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \]

Tentukan mean dan varians dari X.

\[ E(X) = \int_{-1}^{0} x(1+x) dx + \int_{0}^{1} x(1-x) dx \] \[ E(X) = \int_{-1}^{0} (x+x^2) dx + \int_{0}^{1} (x-x^2) dx \] \[ E(X) = [\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3}]_{1}^{0} \] \[ E(X) = 0 – (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} – 0 \] \[ E(X) = 0 \]

Jadi didapatkanlah mean sebesar 0

\[ E(X^2) = \int_{-1}^{0} x^2 (1+x) dx + \int_{0}^{1} x^2 (1-x) dx \] \[ E(X^2) = \int_{-1}^{0} (x^2 + x^3) dx + \int_{0}^{1} (x^2 – x^3) dx \] \[ E(X^2) = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} \] \[ E(X^2) = 0 – \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} – 0 \] \[ E(X^2) = \frac{2}{3} – \frac{1}{2} \] \[ E(X^2) = \frac{1}{6} \]

\[ Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \] \[ Var(X) = \frac{1}{6} – 0 \] \[ Var(X) = \frac{1}{6} \]

Jadi didapatkan varians sebesar 1/6


Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
error: Content is protected !!
Up