Peubah Acak dan Sebarannya – Fungsi Kumulatif

Fungsi Kumulatif

Kadang-kadang kita tidak saja membutuhkan nilai peluang pada suatu titik atau interval, tetapi nilai peluang untuk semua titik yang berada pada atau di bawah titik tertentu. Fungsi peluang ini disebut Fungsi Kumulatif.

Fungsi kumulatif F(x) = F(X = x) = P(X โ‰ค x) adalah fungsi yang nilainya dihitung dengan:

\[ F(x) = \sum_{t \leq x} f(t), \: untuk \: X \: diskrit \] \[ F(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t), \: untuk \: X \: kontinu \]

Jika F(x) adalah sebuah fungsi kumulatif dari peubah acak X, maka:

\[ F(-\infty) = P(\varnothing) = 0 \] \[ F(\infty) = P(R_X) = 1 \]

Contoh

Nomor 1

Jika diketahui peubah acak X dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

Persamaan 1.1 Fungsi Kepadatan Peluang

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{5}, \: untuk \: x = 1, 3, 5, 7, 9 \\ 0, \: untuk \: x \: lainnya \end{matrix}\right. \]

Persamaan 1.2 Fungsi Kumulatif Peluang

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} 0, \: untuk \: x < 1 \\ \frac{1}{5}, \: untuk \: 1 \leq x < 3 \\ \frac{2}{5}, \: untuk \: 3 \leq x < 5 \\ \frac{3}{5}, \: untuk \: 5 \leq x < 7 \\ \frac{4}{5}, \: untuk \: 7 \leq x < 9 \\ 1, \: untuk \: 9 \leq x \end{matrix}\right. \]

Gambar 1.1 Grafik Fungsi Kumulatif Peubah Acak Diskrit

fungsi kumulatif grafik diskrit

Grafik fungsi F(x) untuk peubah acak diskrit merupakan fungsi tangga naik dengan nilai terendah 0 dan nilai tertinggi 1. Untuk peubah acak dengan fungsi kepadatan peluang seperti pada Persamaan 1.1, fungsi kumulatifnya ditunjukkan oleh Persamaan 1.2, dan grafiknya ditunjukkan pada Gambar 1.1

Nomor 2

Diketahui peubah acak dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

Persamaan 2.1 Fungsi Kepadatan Peluang

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} x^2, \: untuk \: 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \: untuk \: x \: lainnya \end{matrix}\right. \]

Persamaan 2.2 Fungsi Kumulatif Peluang

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix} 0, \: untuk \: 0 < x \\ x^3, \: untuk \: 0 \leq x \leq 1 \\ 1, \: untuk \: 1 > x \end{matrix}\right. \]

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Kumulatif Peubah Acak Kontinu

fungsi kumulatif grafik kontinu

Grafik fungsi kumulatif untuk peubah acak kontinu terdiri atas tiga bagian yaitu:

  1. bernilai 0 untuk x di bawah batas minimal dari daerah rentang,
  2. merupakan fungsi monoton naik pada daerah rentang,
  3. mempunyai nilai konstan 1 di atas batas maksimum daerah rentangnya.

Grafik dari Persamaan 2.2 diberikan pada Gambar 2.3


Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
Up