Himpunan dan Peluang – Peluang Bersyarat

Masalah yang sering muncul ketika menghitung peluang adalah terjadinya suatu kejadian apabila suatu kejadian lain telah terjadi.

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat dari munculnya kejadian A jika suatu kejadian yang lain B sudah terjadi didefinisikan sebagai

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Jika P(B) = 0, artinya B tidak terjadi, maka P(A|B) tidak didefinisikan

Teorema

  • P(A|B) = 1 - P(Ac โˆฉ B)
  • 0 โ‰ค P(A|B) โ‰ค 1
  • P(A1 โˆช A2 | B) = P(A1|B) + P(A2|B) - P(A1 โˆฉ A2 | B)
  • P(A โˆฉ B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A) โ†’ Multiplication Theorem of Prob

Contoh

Suatu kotak berisi 100 microchip, beberapa diantaranya diproduksi oleh pabrik A dan sisanya oleh pabrik B. Sebagian dari microchip yang diproduksi ternyata tidak memenuhi kualifikasi yang dibakukan (defective). Datanya adalah sebagai berikut

Pabrik Defective (D) Non Defective (Dc) Jumlah
A 5 15 20
B (Ac) 35 45 80
Jumlah 40 60 100

Jika suatu microchip diambil secara acak, maka

  • Berapa peluang memperoleh microchip yang defective?
  • Berapa peluang memperoleh microchip yang defective jika diketahui berasal dari pabrik B?
  • Berapa peluang memperoleh microchip yang defective dari pabrik B?

Teorema Law of Total Probability

Jika B1, B2, ..., Bk adalah kumpulan dari mutually exclusive dan exhaustive event, maka untuk sembarang kejadian dari A, berlaku sebagai berikut

\[ P(A) = \sum^k P(B_i) P(A|B_i) \]

Contoh

Jika terdapat tiga pabrik B1, B2, dan B3 yang memproduksi barang sejenis, yang mana produksi barang dapat dinyatakan sebagai defective (D) atau non defective (Dc)

Pabrik Defective (D) Non Defective (Dc) Jumlah
B1 5 20 25
B2 10 25 35
B3 5 35 40
Jumlah 20 80 100

Jika diambil satu produk secara acak, maka peluang bahwa defective adalah...

\[ P(A) = \frac{20}{100} = 0,20 \]

atau

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{3} P(B_i) P(A|B_i) \] \[ P(A) = \frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25} + \frac{35}{100} \cdot \frac{10}{35} + \frac{40}{100} \cdot \frac{5}{40} \] \[ P(A) = 0,20 \]

Baca Juga : Himpunan dan Peluang โ€“ Ruang Kejadian

Teorema Bayes' Rule

Jika diasumsikan Law of Total Probability berlaku, maka untuk setiap j = 1, 2, ..., k, maka...

\[ P(B_j|A) = \frac{P(B_j) P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i) P(A|B_i)} \]

Contoh

Hitunglah peluang suatu produk yang berasal dari pabrik B1 jika diketahui produk tersebut defective!

\[ P(B_1|A) = \frac{P(B_1) P(A|B_1)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i) P(A|B_i)} \] \[ P(B_1|A) = \frac{\frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25}}{\frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25} + \frac{35}{100} \cdot \frac{10}{35} + \frac{40}{100} \cdot \frac{5}{40}} \] \[ P(B_1|A) = \frac{5}{20} \]

Kejadian Independen

Dua kejadian A dan B dikatakan sebagai kejadian yang independen atau saling bebas jika P(A โˆฉ B) = P(A)P(B). Jika tidak berlaku demikian, maka dua kejadian tersebut dikatakan saling dependen atau tidak saling bebas

Teorema

Jika kejadian A dan B saling bebas, maka pasangan kejadian berikut ini juga saling bebas

  • A dan Bc
  • Ac dan B
  • Ac dan Bc

Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Himpunan dan Peluang, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Bagikan ke teman-teman Anda

Contact Us

How to whitelist website on AdBlocker?

How to whitelist website on AdBlocker?

  1. 1 Click on the AdBlock Plus icon on the top right corner of your browser
  2. 2 Click on "Enabled on this site" from the AdBlock Plus option
  3. 3 Refresh the page and start browsing the site
Up