Himpunan dan Peluang – Teknik Menghitung Peluang

Berikut disajikan beberapa teknik menghitung peluang.

Aturan Multiplikatif Membilang

Jika suatu proses gabungan merupakan gabungan dari k ( โ‰ฅ 2 ) proses dengan masing-masing dapat dilakukan menurut nk ( โ‰ฅ 1 ) cara, maka proses gabungan tersebut dapat dilakukan menurut n1, n2, …, nk cara

Contoh

  1. Jika suatu dadu dilempar dua kali (atau dua dadu dilempar sekali), maka banyaknya semua hasil yang mungkin adalah 6 ร— 6 = 36. Di sini melempar sebuah dadi sebanyak dua kali dapat diartikan sebagai proses gabungan dari dua proses yang masing-masing adalah melempar dadu satu kali
  2. Suatu menu makan siang terdiri dari sayur, lauk, buah, dan minuman, yang masing-masing hanya memiliki satu macam. Jika terdapat 4 macam sayur, 3 macam lauk, 5 macam buah, dan 3 macam minuman, maka banyaknya menu makan siang yang dapat dipilih adalah 4 ร— 3 ร— 5 ร— 3 = 180 macam. Di sini, memilih menu makan siang dapat diartikan sebagai proses gabungan dari empat proses yang masing-masing adalah memilih sayur, lauk, buah, dan minuman

Permutasi

Merupakan suatu pengaturan dengan “memperhatikan urutan” dari semua obyek atau sebagian obyek yang diambil dari semuanya. Banyaknya permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda, ditulis sebagai…

\[ P_{n,r} = P^n_r = \: _nP_r \] \[ \: _nP_r = n(n-1)…(n-r+1) \] \[ \: _nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \] \[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n \] \[ 0! = 1 \] \[ 1 \leq r \leq n \]

Contoh

  1. Dari 24 orang anggota suatu perkumpulan, akan dipilih pengurus yang susunannya terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika semua anggota mempunyai hak yang sama untuk menduduki suatu jabatan, maka banyaknya susunan petugas yang dapat dipilih adalah

    24P4 = 24 ร— 23 ร— 22 ร— 21 = 255024
  2. Banyaknya cara pengaturan duduk 5 orang pejabat di 5 kursi baris terdepan adalah

    5P5 = 5 ร— 4 ร— 3 ร— 2 ร— 1 = 120

Baca juga: Himpunan dan Peluang โ€“ Eksperimen

Kombinasi

Merupakan suatu pengaturan "tanpa memperhatikan urutan" dari obyek-obyek tersebut. Banyaknya kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda, ditulis sebagai...

\[ \begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} = C^n_r = \: _nC_r = C_{n,r} \] \[ \: _nC_r = \frac{n!}{r! (n-r)!} \]

Contoh

  1. Dari 12 orang pemain bola basket, banyak tim yang dapat disusun adalah sebagai berikut.

    12C5 = 12! / (5! ร— 7!) = 792
  2. Jika dari 12 orang, akan disusun pemain basket sebanyak dua tim, maka...

    12C5,5 = 12! / (5! ร— 5! ร— 2!) = 166632

Sampel "dengan" dan "tanpa" Pengembalian

Terdapat beberapa macam, antara lain:

  • Sampel yang diambil sekaligus
    Yaitu yang semua elemennya diambil bersama-sama
  • Sampel dengan pengembalian
    Yaitu yang elemen-elemnnya diambil satu persatu dengan pengembalian. Artinya, elemen kedua dan seterusnya diambil setelah elemen sebelumnya dikembalikan. Dengan demikian, hasilnya dimungkinkan akan sama dalam setiap pengambilan
  • Sampel tanpa pengembalian
    Yaitu yang elemen-elemennya diambil satu persatu tanpa pengembalian. Artinya, elemen kedua dan seterusnya diambil tanpa mengembalikan elemen sebelumnya. Dengan demikian, hasilnya tidak dimungkinkan akan sama dalam setiap pengambilan

Jika ukuran sampel adalah n dan ukuran populasi adalah N, maka banyak sampel yang mungkin untuk ...

  • Sampel yang diambil sekaligus โ†’ NCn
  • Sampel dengan pengembalian โ†’ Nn
  • Sampel tanpa pengembalian โ†’ NPn

Contoh

Jika 10 bola lampu dicoba 2 secara random, maka banyaknya pasangan bola lampu yang dapat dicoba ...

  1. Sampel yang dicoba sekaligus

    10C2 = 10! / (2! ร— 8!) = 45 pasang
  2. Sampel yang dicoba dengan pengembalian

    102 = 10 ร— 10 = 100 pasang
  3. Sampel yang dicoba tanpa pengembalian

    10P2 = 10! / 8! = 90 pasang

Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Himpunan dan Peluang, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Up