Himpunan dan Peluang – Hubungan Antar Kejadian

Berikut adalah beberapa jenis hubungan antar kejadian.

Gabungan (Union)

Dua kejadian A dan B yang ditulis dengan notasi A โˆช B adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A dan atau hasil dalam B

Notasi

A โˆช B = {x | x โˆˆ A atau x โˆˆ B}

Sifat

A โˆช B โˆช C = (A โˆช B) โˆช C = A โˆช (B โˆช C)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A โˆช B = {MMM, BBB, MMB, MBB, BMM, BBM}
A โˆช C = {MMM, BBB, MMB, MBB, MBM}
B โˆช C = {MMB, MBB, BMM, BBM, MMM, MBM}


Irisan (Intersection)

Dua kejadian A dan B yang ditulis dengan notasi A โˆฉ B adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A yang sekaligus adalah hasil dalam B atau hasil dalam B yang sekaligus adalah hasil dalam A

Notasi

A โˆฉ B = {x | x โˆˆ A dan x โˆˆ B}

Sifat

  • Jika A โˆฉ B = โˆ…, maka A dan B bisa dikatakan sebagai Saling Asing (mutually exclusive event) atau merupakan dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama
  • Jika A โˆช B = S dan A โˆฉ B = โˆ…, maka A dan B adalah suatu partisi dari S
  • A โˆฉ B โˆฉ C = (A โˆฉ B) โˆฉ C = A โˆฉ (B โˆฉ C)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A โˆฉ B = โˆ… โ†’ artinya A dan B tidak mungkin terjadi bersama-sama
A โˆฉ C = {MMM}
B โˆฉ C = {MMB, MBB}


Komplemen

Suatu kejadian A jika ditulis Ac adalah suatu kejadian dalam S yang hasil-hasilnya adalah bukan hasil dari A. jelas bahwa A dan Ac tidak mungkin terjadi bersama-sama dan keduanya adalah suatu partisi dari S

Notasi

Ac atau A’ = {x | x โˆˆ S, x โˆ‰ A}

Sifat

  • (Ac)c = A
  • Sc = โˆ…
  • โˆ…c = S

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
Bc = {MMM, MBM, BMB, BBB}


Selisih

Selisih dua himpunan A dan B yang ditulis dengan notasi A – B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota B

Notasi

A – B = {x | x โˆˆ A dan x โˆ‰ B}

Sifat

A – B = A โˆฉ B’

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
C – A = {MMB, MBB, MBM}


Jumlah

Biasa disebut juga sebagai Beda Setangkup / Selisih Simetris / Simmetry Difference. Beda setangkup dua himpunan A dan B merupakan himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A.

Notasi

A โŠ• B = (A โˆช B) – (A โˆฉ B) = (A – B) โˆช (B – A)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A โŠ• C = {MMB, MBB, MBM, BBB}


Perkalian Kartesian

Notasi

A ร— B = {(a, b) | a โˆˆ A dan b โˆˆ B}

Sifat

  • (a, b) โ‰  (b, a)
  • A ร— B โ‰  B ร— A
  • Jika A = โˆ… atau B = โˆ…, maka A ร— B = B ร— A = โˆ…

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang dan mata dadu masing-masing sekali dengan
A = hasil lemparan mata uang, dan
B = hasil lemparan mata dadu bersisi genap.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {M, B}, dan
B = {2, 4, 6}.

Sehingga…
A ร— B = {(M, 2), (M, 4), (M, 6), (B, 2), (B, 4), (B, 6)}



Materi Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman mengenai Himpunan dan Peluang, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.


Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini

Up