Hubungan Antar Kejadian

Berikut adalah beberapa jenis hubungan antar kejadian.

Gabungan (Union)

Dua kejadian A dan B yang ditulis dengan notasi A ∪ B adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A dan atau hasil dalam B

Notasi

A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Sifat

A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A ∪ B = {MMM, BBB, MMB, MBB, BMM, BBM}
A ∪ C = {MMM, BBB, MMB, MBB, MBM}
B ∪ C = {MMB, MBB, BMM, BBM, MMM, MBM}

Irisan (Intersection)

Dua kejadian A dan B yang ditulis dengan notasi A ∩ B adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A yang sekaligus adalah hasil dalam B atau hasil dalam B yang sekaligus adalah hasil dalam A

Notasi

A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Sifat

Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B bisa dikatakan sebagai Saling Asing (mutually exclusive event) atau merupakan dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama
Jika A ∪ B = S dan A ∩ B = ∅, maka A dan B adalah suatu partisi dari S
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A ∩ B = ∅ → artinya A dan B tidak mungkin terjadi bersama-sama
A ∩ C = {MMM}
B ∩ C = {MMB, MBB}

Komplemen

Suatu kejadian A jika ditulis A^c adalah suatu kejadian dalam S yang hasil-hasilnya adalah bukan hasil dari A. jelas bahwa A dan A^c tidak mungkin terjadi bersama-sama dan keduanya adalah suatu partisi dari S

Notasi

A^c atau A’ = {x | x ∈ S, x ∉ A}

Sifat

(A^c)^c = A
S^c = ∅
∅^c = S

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
B^c = {MMM, MBM, BMB, BBB}

Selisih

Selisih dua himpunan A dan B yang ditulis dengan notasi A – B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota B

Notasi

A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B}

Sifat

A – B = A ∩ B’

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
C – A = {MMB, MBB, MBM}

Jumlah

Biasa disebut juga sebagai Beda Setangkup / Selisih Simetris / Simmetry Difference. Beda setangkup dua himpunan A dan B merupakan himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A.

Notasi

A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang tiga kali dengan
A = hasil ketiga lemparan sama,
B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, dan
C = muncul M pada lemparan pertama.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {MMM, BBB},
B = {MMB, MBB, BMM, BBM}, dan
C = {MMM, MMB, MBB, MBM}.

Sehingga…
A ⊕ C = {MMB, MBB, MBM, BBB}

Perkalian Kartesian

Notasi

A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}

Sifat

(a, b) ≠ (b, a)
A × B ≠ B × A
Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅

Contoh

Jika melempar sebuah mata uang dan mata dadu masing-masing sekali dengan
A = hasil lemparan mata uang, dan
B = hasil lemparan mata dadu bersisi genap.

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut.
A = {M, B}, dan
B = {2, 4, 6}.

Sehingga…
A × B = {(M, 2), (M, 4), (M, 6), (B, 2), (B, 4), (B, 6)}